მექანიკა/სხეულის წონა/აჩქარებულად მოძრავი სხეულის წონა

მაგალითი 3.

დავუბრუნდეთ პირველ მაგალითს და ცოტათი გავართულოდ იგი. დავუშვათ ,სასწორი უმოძრაოდ დევს ლიფტის ფსკერზე, სხეული კი უზრავად დევს სასწორზე. ავამოძრაოდ ლიფტი ${\vec {a}}$ აჩქარებულით ვერტიკალურად ზევით ისე , როგორც სურათზეა მოცემული.

ნახ. 3

დედამიწის მხრიდან სხეულზე კვლავ მოქმედებს სიმძიმის ძალა $m{\vec {g}}$. სასწორის მხიდან სხეულზე მოქმედებს რეაქციის ძალა ${\vec {N}}$. დედამიწასთან დაკავშირებულ ათვლის ინერციული სისტემის მიმართ სხეულს ექნება აჩქარება ${\vec {a}}$. ნიუტონის მეორე კანონის თანახმად; 'ათვლის ინერციული სისტემის მიმართ სხეულს მასზე მოქმედი ძალების ტოლქნედი ანიჭებს აჩქარებას.,რომელიც ტოლია სხეულზე მოქმედი ძალების ტოლქმედის ფარდობისა სხეულის მასაზე": დავწეროთ ნიუტონის მეორე კანონი სხეულისათვის:

${\vec {N}}+m{\vec {g}}=m{\vec {a}}(6)$

(7) ტოლობაში რეაქციის ძალის ნაცვლათ დავწეროთ სხეულის წონა გვექნება:

$-{\vec {P}}+m{\vec {g}}=m{\vec {a}}(7)$

${\vec {P}}=m({\vec {g}}-{\vec {a}})(8)$

ავირჩიოთ ${\vec {Y}}$ ღერძის მიმართულება ვერტიკალურად ქვევით ისე , როგორც სურათზეა მოცემული. დავაპროეციროთ (9) ტოლობა ${\vec {Y}}$ ღერძზე. Y მდგენელისათვის მივიღებთ:

${\vec {P}}_{y}=m({\vec {g}}_{y}+{\vec {a}}_{y})(9)$

როგორც ხედავთ სხეულის წონა მის ნორმალურ მნიშვნელობასთან შედარებით გაიზარდა.

მაგალითისათვის დავუშვათ ლიფტს ვაჩქარებთ ვერტიკალურად ზევით 5მ/წმ² აჩქარებით. სხეულის მასა ავირჩიოთ 20 კილოგრამის ტოლად, ხოლო თავისუფალი ვარდნის აჩქარების მნიშვნელობა კი - 10მ/წმ²-სა. სხეულის ნორმალური წონა იქნება ტოლი P = 20*10 = 200ნ. სხეულის წონა , ვერტიკალურად ზევით აჩქარებულად მოძრავი ლიფტის შემთხვევაში, კი - P = 20*(10 + 5) = 300ნ. ლიფტის ვიერტიკალურად ქვევით მოძრაობის შემთხვევისათვის (9) ტოლობაში უნდა შევიტანოთ ცვლილება:${\vec {a}}$ => $-{\vec {a}}$. შედეგად (9) ტოლობა ამ შემთხვევისათვის მიიღებს შემდეგ სახეს:

${\vec {P}}_{y}=m({\vec {g}}_{y}-{\vec {a}}_{y})(10)$

როგორც ხედავთ სხეულის წონა მის ნორმალურ მნიშვნელობასთან შედარებით შემცირდა. იგივე შედეგს მივიღებთ ზამბარიანი სასწორის შემთხვევაში. გთავაზობთ დამოუკიდებლად განიხილოთ ზამბარიანი სასწორის შემთხვევა. ასეთ ცვლილებებს თქვენ გრძნობთ ლიფტით მგზავრობის დროს. როცა ლიფტი იწყებს მოძრაობას ქვევით თქვენ ლიფტთან ერთად იწყებთ აჩქარებულ მოძრაობას. ამ დროს აჩქარება მიმართულია ქვევით. თქვენი წონა მცირდება და გრძნობთ შემსუბუქებას. როცა ქვევით მოძრაობისას ლიფტი ჩერდება თქვენ ლიფტთან ერთად იწყებთ აჩქარებულ მოძრაობას. ამ დროს აჩქარება მიმართულია ზევით. თქვენი წონა იზრდება და გრძნობთ სიმძიმეს

მაგალითი 4.

უძრავ ბლოკზე გადაკიდებულ ძაფზე დამაგრებულია $m_{1}$ ად $m_{2}$ მასის სხეულები. ისე როგორც ნაჩვენებია სურათზე.

ნახ. 4

ვნახოთ რა ძალები მოქმედებს $m_{1}$ ად $m_{2}$ მასის სხეულებზე. ორივე სხეულზე დედამიწის მხრიდან მოქმედებს $m_{1}{\vec {g}}$ და $m_{2}{\vec {g}}$ სიმძიმის ძალები. აგრეთვე ძაფის მხრიდან ორივე სხეულზე მოქმედებს ${\vec {T}}$ დაჭიმულობის ძალები, რომლებიც ვერტიკალურად ზევით არიან მიმართული.

ძაფის მასა მივიჩნიოთ ნულის ტოლად. რა თქმა უნდა ძაფი შეიცავს ნივთიერების გარკვეულ რაოდენობას, შესაბამისად მისი მასა ნულის ტოლი ვერ იქნება. ამ კონკრეტულ შემთხვევაში ვუშვებთ, რომ ძაფის მასა მასზე დამაგრებული სხეულების მასებთან შედარებით გაცილებით მცირეა. შესაბამისად გარკვეული სიზუსტით ძაფის მასის მნიშვნელობა შეგვიძლია ნულის ტოლად ჩავთვალოთ. .დავუშვათ, ასევე რომ ძაფი არ იჭიმება და ძაფსა და ბლოკს შორის ხახუნის ძალა ნულის ტოლია. აქაც იგულისხმება , რომ ხახუნის ძალა იმდენად მცირეა , რომ მისი გათვალისწინება ამოცანის შედეგებზე არ იმოქმედებს. ამ სამი პირობის გათვალისწინებით მივიღებთ, რომ ბლოკზე გადაკიდებული ძაფის მარცხენა და მარკვენა ნაწილებში აღიძვრება სიდიდით ტოლი დაჭიმულობის ძალები. მართლაც, წარმოსახვით გამოვყოთ მაგალითად ძაფის მარცხენა ნაწილის მცირე უბანი. რა თქმა უნდა ამ უბანზე მოქმედებს ძაფის დანარჩენ ნაწილებში აღზრული დაჭიმულობის ძალები. მათი მიმართულებები ურთიერთ საწინააღმდეგოა. დავუშვათ მათი რიცხვითი მნიშვნელობები განსხვავდებიან. ვერტიკალურად ზევით მიმართული დაჭიმულობის ძალა ავღნიშნოთ ${\vec {T}}_{1}$ ასოთი. ხოლო ვერტიკალურად ქვევით მიმართული კი - ${\vec {T}}_{2}$ ასოთი.

დავუშვათ $|{\vec {T}}_{1}|>|{\vec {T}}_{1}|$. ძაფის გამოყოფილ უბანზე მოქმედი ძალების ტოლქმედს ნულისაგან განსხვავებული მნიშვნელობა ექნება. შესაბამისად ნიუტონის მეორე კანონს ექნება შემდეგი სახე:

${\vec {T}}_{1}+{\vec {T}}_{2}=m{\vec {a}}(11)$

ტოლობის მარცხენა მხარეში მდგომ გამოსახულებას ნულისაგან განსხვავებული მნიშვნელობა აქვს. მარჯვენა მხარეში კი მონაწილეობს ძაფის გამოყოფილი უბნის მასა, რომელიც ჩვენ ნულის ტოლად ჩავთვალეთ. (11) ტოლობა , რომ სამართლიანი იყოს საჭიროა ძაფის გამოყოფილ უბანს ძალიან დიდი აჩქარება ჰქონდეს. ამ აჩქარების მნიშვნელობა იმდენად დიდი უნდა იყოს, რომ მისი ნამრავლი მასის მცირე მნიშვნელობაზე ძალების ტოლქმედის მნიშვნელობის ტოლი გახდეს. ჩვენ შენდეგში ვნახავთ, რომ ძაფს არ აქვს დიდი აჩქარება. იგივე მსჯელობა შეგვიძლია ჩავატაროთ ძაფის მარჯვენა ნაწილისათვის. ბლოკსა და ძაფს შორის ხახუნის უგულვებელყოფის შემთხვევაში ძაფის იმ ნაწილშიც, რომელიც დადებულია ბლოკზე, დაჭიმულობის ძალა არ იცვლება. ჩატარებული მსჯელობიდან გამომდინარეობს: დაშვება, იმის შესახებ , რომ ძაფის მარჯვენა და მარცხენა ნაწილებში აღძრული დაჭიმულობის ძალები სიდიდით განსხვავებულია, მცდარია. შესაბამისად ${\vec {T}}_{1}={\vec {T}}_{2}$. ავღნიშნოთ იგი ${\vec {T}}$ ასოთი. დავუშვათ $m_{1}>m_{2}$. მარცხენა სხეულის მასა მეტია მარჯვენაზე. შესაბამისად ინტუიცია გვკარნახობს, რომ მთელი სისტემა იმოძრავებს აჩქარებულად ისე , როგორც ნაჩვენებია სურათზე. შევისწავლოთ თითოეული სხეულის მოძრაობა ცალ-ცალკე.

$m_{1}$ მასის სხეულზე მოქმედებს სიმძიმის ძალა, რომელიც მიმართულია ვერტიკალურად ქვევით და ძაფის დაჭიმულობის ძალა, რომელიც მიმართულია ვერტიკალურად ზევით. სხეული მოძრაობს ${\vec {a}}$ აჩქარებით ვერტიკალურად ქვევით.

დავწეროთ ნიუტონის მეორე კანონი $m_{1}$ მასის სხეულისათვის. გვექნება:

$m_{1}{\vec {g}}+{\vec {T}}=m_{1}{\vec {a}}(12)$

წინა მაგალითში ჩვენ ვაჩვენეთ , რომ თუკი ძაფი სხეულზე მოქმედებს ${\vec {T}}$ ძალით მაშინ სხეულიც ძაფზე მოქმედებს ტოლი და საწინააღმდეგოდ მიმართული ძალით. ამ ძალას ვუწოდეთ წონა. შესაბამისად მივიღეთ, რომ $m_{1}$ მასის სხეულის წონა შემცირდა ნორმალურთან შედარებით. ${\vec {Y}}$ ღერძი მივმართოთ ვერტიკალურად ქვევით და დავაპროეციროთ მასზე (12) ტოლობა. Y მდგენელისათვის მივიღებთ:

${\vec {T}}_{y}=m_{1}({\vec {g}}_{y}-{\vec {a}}_{y})(13)$

მართლაც მივიღეთ, რომ $m_{1}$ მასის სხეულის წონა შემცირდა მის ნორმალურ წონასთან შედარებით. თუკი მსგავს მსჯელობას ჩავატარებთ $m_{2}$ მასის სხეულისათვის მივიღებთ , რომ მისის წონა გაიზარდა:

${\vec {T}}_{y}=m_{2}({\vec {g}}_{y}+{\vec {a}}_{y})(14)$

მივიღეთ ერთი შეხედვით უცნაური შედეგი. $m_{1}$ და $m_{2}$ მასის სხეულების წონები შეიცვალა ისე , რომ მათი მნიშვნელობები ერთმანეთს გაუტოლდა და გახდა $P$-ს ტოლი. გვაქვს ორი განტოლება (13) და (14) ორი, ${\vec {P}}_{y}$ და ${\vec {a}}_{y}$, უცნობით . ამოვხსნათ ეს განტოლებათა სისტემა ${\vec {P}}_{y}$-სა და ${\vec {a}}_{y}$-ს მიმართ. შესაბამისად გვექნება:

$|{\vec {T}}_{y}|={\frac {2m_{1}m_{2}}{(m_{1}+m_{2})}}$

$|{\vec {a}}_{y}|=|{\vec {g}}|{\frac {m_{1}-m_{2}}{(m_{1}+m_{2})}}$

ჩავატაროთ ანალიზი. დავუშვათ $m_{1}>>m_{2}$. აჩქარების გამოსახულების მრიცხველსა და მნიშვნელში სხვაობასა და ჯამში შეგვიძლია უგულუბულველყოთ $m_{2}$. მივიღებთ ${\vec {a}}={\vec {g}}$. ასევე დაჭიმულობის ძალისათვის მივიღებთ ${\vec {T}}=0$. შედეგი ლოგიკურია. პირობა $m_{1}>>m_{2}$ ნიშნავს, რომ $m_{2}$ მასის მნიშვნელობა შეგვიძლია ნულის ტოლად ჩავთვალოთ. ეს კი თავის მხრივ ნიშნავს, რომ ძაფის მარჯვენა მხარეზე არანაირი სხეული არ არის დამაგრებული. შესაბამისად $m_{1}$ მასის სხეული თავისუფლად ვარდება, მისი აჩქარება ${\vec {g}}$-ს ტოლია და ძაფის დაჭიმულობის ძალაც ნულს გაუტოლდება. დავუშვათ, $m_{1}=m_{2}$ ავღნიშნოთ იგი m ასოთი. მაშინ ${\vec {a}}=0$, ხოლო ${\vec {T}}=m{\vec {g}}$.

ეს შედეგიც ლოგიკურია. თუკი სხეულების მასები ტოლია სისტემის აჩქარება ნულის ტოლი იქნება. ძაფის დაჭიმულობის ძალა კი სიდიდით $m{\vec {g}}$-ს გაუტოლდება.

---

მათთვის ვისთვისაც საინტერესოა , თუ რამდენად მოქმედებს დასაწყისში გაკეთებული დაშვებები მიღებულ შედეგებზე.

ჩვენ გავაკეთეთ დაშვება და ვთქვით, რომ ძაფის მასა მცირეა სხეულების მასებთან შედარებით. ავღნიშნეთ ასევე , რომ ძაფი არ იჭიმება. გავარკვიოთ რა იგულისხმება აღნიშნულ დაშვებებში.

პირველ რიგში შევეცადოთ მივიღოთ მხედველობაში ძაფის მასა. რაც შეეხება დაშვებას, რომ ძაფი არ იჭიმება დავტოვოდ იგი უცვლელად.

დავიწყოთ ანალიზი იმ მომენტით, როდესაც ორივე სხეული ერთი და იგივე სიმაღლეზე იმყოფება. შესაბამისად მარცხენა და მარჯვენა მხარეში ძაფის სიგრძე ერთმანეთის ტოლი იქნება. ავრნიშნოთ ძაფის მარჯვენა და მარცხენა ნაწილშების მასები m ასოთი. ეფექტურად ძაფის მარხცენა და მარჯვენა ნაწილები დროის მცირედ ინტერვალში შეგვიძლია შევცვალოთ უმასო ძაფით, რომლის გეომეტრიულ ცენტრში მოთავსებული იქნება m მასის ტოლი სხეული.

ნახ. 3

სურათზე მოცემულია ბლოკის გარეშე სისტემის მდგომარეობა არჩეული მომენტისათვის. დავწეროთ მარცხენა და მარჯვენა მხარეებისათვის ნიუტონის მეორე კანონები:

$m_{1}{\vec {g}}+{\vec {T}}_{1}=m_{1}{\vec {a}}(15)$

$m_{2}{\vec {g}}+{\vec {T}}_{3}=m_{2}{\vec {a}}(16)$

$m{\vec {g}}+{\vec {T}}_{1}+{\vec {T}}_{2}=m{\vec {a}}(17)$

$m{\vec {g}}+{\vec {T}}_{3}+{\vec {T}}_{2}=m{\vec {a}}(18)$

პირობიდან, ძაფი არ იჭიმება, გამომდინარეობს , რომ ორივე სხეულის აჩქარებები სიდიდით ერთმანეთი ტოლია. მართლაც თუკი ძაფი არ იჭიმება მთელი სისტემა იმოძრავებს როგორც ერთი მთლიანი და შესაბამისად ორივე m1 და m2 მასის სხეულებს ექნებათ სიდიდით ტოლი აჩქარებები . დავაპროეციროთ ეს ტოლობები Y ღერძზე. მივიღებთ:

$m_{1}|{\vec {g}}|-|{\vec {T}}_{1}|=m_{1}|{\vec {a}}|(19)$

$m_{2}{\vec {g}}|-|{\vec {T}}_{3}|=-m_{2}{\vec {a}}|(20)$

$m{\vec {g}}|+|{\vec {T}}_{1}|-|{\vec {T}}_{2}|=m{\vec {a}}|(21)$

$m{\vec {g}}|+|{\vec {T}}_{3}|-|{\vec {T}}_{2}|=-m{\vec {a}}(22)$

(19) ტოლობას გამოვაკლოთ (21) ტოლობა.

$|{\vec {T}}_{1}|-|{\vec {T}}_{3}|=2m{\vec {a}}(23)$

დავუშვათ ძაფის დაჭიმულობის ძალას ვზომავთ ხელსაწყოთი, მას დინამომეტრი ეწოდება, რომლის სიზუსტეა 1%-ი. ეს ნიშნავს , რომ 1ნ ძალის გაზომვისას ხელსაწყო უშვებს 0.01ნ ტოლ შეცდომას. თუ ხელსაწყო აჩვენებს 1ნ ძალას, ძალის რეალური მნიშვნელობა სინამდვილეში იქნება 1 - 0.01ნ = 0.99ნ და 1 + 0.01ნ = 1.01ნ შუალედში. ასევე დავუშვათ აჩქარების გასაზომი ხელსაწყოს სიზუსტე 1%-ის ტოლად.

დავუშვათ $m_{1}$ = 2კგ ხოლო $m_{2}$ = 1კგ. იმ შემთხვევაში თუ ძაფი უმასოა და არ იჭიმება სხეულების აჩქარება და ძაფის დაჭილულობის ძალა შესაბამისად მიიღებს მნიშვნელობებს: $|{\vec {a}}|$ = (1/3)$|{\vec {g}}|$ = 10/3 = 3.3 მ/წმ² , $|{\vec {T}}|$ = (4/3)$|{\vec {g}}|$ = 40/3 = 13.3 ნ.

დაჭიმულობის ძალის მნიშვნელობები :

$|{\vec {T}}|$ = 13.3 + 0.01 = 13.31 ნ

და

$|{\vec {T}}|$ = 13.3 - 0.01 = 13.29ნ

ხელსაწყოს სიზუსტის ფარგლებში განურჩეველია.

აგრეთვე აჩქარების მნიშვნელობები:

$|{\vec {a}}|$ = 3.3 + 0.01 = 3.31 მ/წმ²

და

$|{\vec {a}}|$ = 3.3 - 0.01 = 3.29 მ/წმ²

ხელსაწყოს სიზუსტის ფარგლებში განურჩეველია.

შესაბამისად (23) ტოლობაში $|{\vec {T}}_{1}|$ და $|{\vec {T}}_{3}|$ დაჭიმულობის ძალებისათვის შეგვიძლია დავწეროთ ინტერვალები, რომლის ფარგლებში მოხვედრილი მნიშვნელობები ხელსაწყოსათვის განურჩეველი იქნება:

$|{\vec {T}}_{1}|$ = 13.3 + 0.01 = 13.31 ნ; $|{\vec {T}}_{1}|$ = 13.3 - 0.01 = 13.29 ნ

$|{\vec {T}}_{3}|$ = 13.3 + 0.01 = 13.31 ნ; $|{\vec {T}}_{3}|$ = 13.3 - 0.01 = 13.29 ნ

შესაბამისი ინტერვალი $|{\vec {T}}_{1}-{\vec {T}}_{3}|$ სხვაობისათვის მიიღებს სახეს:

$0<=|{\vec {T}}_{1}-{\vec {T}}_{3}|<=0.02$.

$|{\vec {T}}_{1}|$ ძალის გაზომვის მაქსიმალური შეცდომა 0.01-ის ტოლია ისევე როგორც $|{\vec {T}}_{3}|$ ძალისა. შესაბამისად მათი სხვაობის გაზომვის მაქსიმალური შეცდომა იქნება ორჯერ მეტი. მართლაც , დავუშვათ გავზომეთ $|{\vec {T}}_{1}|$ ძალა, დავუშვით შეცდომა +0.01ნ და მივიღეთ მნიშვნელობა 13.3 + 0.01 = 13,31ნ. $|{\vec {T}}_{2}|$ ძალის გაზომვისას კი დავუშვით შეცდომა -0.01ნ და მივიღეთ მნიშვნელობა 13.3 - 0.01 = 13.29ნ . შესაბამისად $|{\vec {T}}_{1}-{\vec {T}}_{3}|$ სხვაობის გაზომილი მნიშვნელობა იქნება 13.31 - 13.29 = 0.02ნ .

(23) ტოლობის მარცხენა მხარეში ჩავსვათ $|{\vec {T}}_{1}-{\vec {T}}_{3}|$ სხვაობის მაქსიმალური მნიშვნელობა , ხოლო მარჯვენაში აჩქარების მინიმალური მნიშვნელობა და გამოვთვალოთ m მასის მაქსიმალური მნიშვნელობა. გვექნება:

0,02 = 2m3.31

აქედან

m = 0.02/(23.31) =0.003კგ = 3 გრ

ეს m მასის ის მაქსიმალური მნიშვნელობაა, რომელიც ჩვენი ხელსაწყოების 1%-იანი ცდომილების შემთხვევაში შეგვიძლია არ მივიღოთ მხედვეობაში და ჩავთვალოთ ნულის ტოლად.

ჩვენს აღნიშვნებში m იყო ნახევარი ძაფის მასა.

მივიღეთ შედეგი:

თუ $m_{1}$ = 2კგ, $m_{2}$ = 1კგ და გვაინტერესებს გაზომვების 1%-იანი სიზუსტე და თუ ძაფის მასის მნიშვნელობა მოთავსებულია 0<= m< <= 6 გრ ინტერვალში, ძაფის მასის უგულებელყოფა შესაძლებელია და შეგვიძლია მისი მნიშვნელობა ჩავთვალოთ ნულის ტოლად.

2%-იანი სიზუსტის პირობებში დინამომეტრის ცდომილება იქნება ±0.02. შესაბამისად $|{\vec {T}}_{1}-{\vec {T}}_{3}|$ სხვაობის მაქსიმალური მნიშვნელობა ტოლი იქნება $|{\vec {T}}_{1}-{\vec {T}}_{3}|$ = 0.04, ხოლო ძაფის მასა კი

m = 0.04/(2*3.31) =0.006კგ = 6 გრ

ეს m მასის ის მაქსიმალური მნიშვნელობაა, რომელიც ჩვენი ხელსაწყოების 2%-იანი ცდომილების შემთხვევაში შეგვიძლია არ მივიღოთ მხედვეობაში და ჩავთვალოთ ნულის ტოლად.

თუ $m_{1}$ = 2კგ, $m_{2}$ = 1კგ და გვაინტერესებს გაზომვების 2%-იანი სიზუსტე და თუ ძაფის მასის მნიშვნელობა მოთავსებულია m< = 12 გრ ინტერვალში, ძაფის მასის უგულებელყოფა შესაძლებელია და შეგვიძლია მისი მნიშვნელობა ჩავთვალოთ ნულის ტოლად.