გრუნტის მათემატიკური მოდელების განვითარება და გამოყენება

ვიკიწიგნებიდან
Jump to navigation Jump to search

სარჩევი

მიწის ფერდობების სეისმომედეგობაზე გაანგარიშებისას დაცული უნდა იყოს 2 პირობა: აცილებული უნდა იყოს სეისმური არამდგრადობა და დიდი დეფორმაციების (გადაადგილებების, ჯდენების და ბზარების) განვითარება, ამისთვის კი შეფასებული უნდა იქნეს გრუნტის მასალის სიმტკიცის მახასიათებლები. დაძაბულ-დეფორმირებული მდგომარეობა კი უნდა განისაზღვროს გრუნტის მასალისათვის დამახასიათებელი ძაბვებისა და დეფორმაციების არაწრფივი დამოკიდებულების მხედველობაში მიღებით. როგორც წესი, ეს ხორციელდება პლასტიკური დეფორმაციის თეორიაზე ან პლასტიკური დენადობის თეორიაზე დაყრდნობით, რასაც რთული ექსპერიმენტული (სამღერძა) კვლევების ჩატარება სჭირდება. (რეტროსპექტული გაანგარიშებისას, როცა არ არსებობს შესაბამისი კვლევები, შესაძლებელია გამოყენებული იქნეს არსებული გეოლოგიური მონაცემები. ასეთ შემთხვევაში აუცილებელია ისეთი მათემატიკური მოდელების შექმნა, რომელიც დაეფუძნება ერთღერძა ექსპერიმენტულ მონაცემებს, მაგრამ გამოსაყენებელი იქნება დეფორმაციებსა და ძაბვებს შორის არაწრფივი დამოკიდებულების გამოსახატავად).

გრუნტის დრეკად-პლასტიკური მოდელები წარმოადგენენ გეოლოგიური მასალის ისეთ კლასს, რომლებსაც შეუძლიათ რაღაც ხარისხით როგორც ფიზიკური რეალობის, ასევე პოტენციურად საიმედო რიცხვითი შედეგების მოცემა და მათი ერთერთი უპირატესობა იმაშიც მდგომარეობს, რომ თეორიები, რომლებსაც ისინი ეყრდნობიან, კარგად არის განვითარებული და მათ წინ უსწრებდათ ლითონის პლასტიკურობის თეორიის განვითარება. პლასტიკური დეფორმაციის თეორიის ჩარჩოებში ანგარიში ტარდება ისეთი მოდელების გამოყენებით, რომლებიც დამოკიდებულია აქტიური დატვირთვისას მიღებული ძაბვების დონეზე, ხოლო განტვირთვისას _ დრეკადობის მოდულებზე.

პირველი, ვინც ლითონის პლასტიკურობის თეორიის გამოყენება სცადა გრუნტის პლასტიკურობისათვის, იყვნენ დრაკერი და პრეგერი, როცა ისინი აფართოებდნენ ფონ მიზესის დენადობის კრიტერიუმს გრანულირებული სივრცისათვის შეზღუდული განმტკიცების გათვალისწინებით. შედეგად მიიღეს დენადობის ახალი კრიტერიუმი, რასაც ახლა დრაკერ-პრეგერის კრიტერიუმი ჰქვია. შემდგომში მათ ჩათვალეს, რომ გრუნტის სივრცული პლასტიკური ქცევა წარმატებულად შეიძლება მოდელირებული იქნეს დეფორმაციის გამამტკიცებელი კუმშვის კაპ ზედაპირით, რომელიც არ ხურავს დრაკერ-პრეგერის დანგრევის მოხაზულობის ღია ბოლოს. გრუნტის წინამორბედი მოდელი და დენადობის კრიტერიუმი კი, როგორიცაა მორ-კულონის, ითვალისწინებდა ხახუნის შეზღუდულ ქცევას. /41/.

გარე ფაქტორების გავლენით გრუნტების პლასტიკური დეფორმაცია იგვიანებს დროში დაძაბულ მდგომარეობასთან მიმართებაში. გრუნტში ამ დროს ვითარდება ბლანტპლასტიკური დეფორმაციები. დაგვიანების დრო მუდმივი არ არის და დამოკიდებულია როგორც გრუნტის თვისებებზე, ასევე ზემოქმედების სიდიდეზე და ხასიათზე. მაგ. როცა დაძაბული მდგომარეობა უახლოვდება ზღვრულს, მაშინ დეფორმაციის სტაბილიზაციის პერიოდი დიდდება

კოიტერის განმამტკიცებელი პლასტიკური გარემოს განზოგადებული ასოცირებული დენადობის კანონი ეფუძნება ძაბვების რეალური სივრცისათვის ენერგიის დისიპაციის მაქსიმუმის პრინციპს და ამავე დროს თავისთავში მოიცავს, როგორც კერძო შემთხვევას, დაცურების თეორიას, უშვებს რა დატვირთვის სინგულარული ზედაპირის არსებობას. თუ ხისტპლასტიკურ სისტემაზე მოქმედებს Qi გარე ძალების n სისტემა, მაშინ ზღვრული მდგომარეობის მიღწევის პირობა მოცემული იქნება ასე: F(Q1, Q2, ...,Qn) =0, რითიც ისაზღვრება n განზომილებიან ძალთა სივრცეში დენადობის ზედაპირი Qi. ძალთა მოდების წერტილები დენადობის პირობის მიღწევისას იღებენ qi, სიჩქარეს, რომლის სიდიდე განიხილება როგორც n განზომილებიან სივრცეში ვექტორის მდგენელი, რომლის სიდიდე უცნობია, მაგრამ მას აქვს დენადობის ზედაპირის მიმართ ნორმალის მიმართულება. თვით ძალთა ერთობლიობა, რომლებიც მოქმედებს სისტემაზე, გამოისახება Q ვექტორით. წესს, რომელიც ადგენს სიჩქარეების განაწილებას დენადობის დადგომისას, ჰქვია დენადობის კანონი და ჩაიწერება ასე: qi = λfi(Qk), i,k=1,2,...,n. აქ λ ლაგრანჟის ნებისმიერი დადებითი მამრავლია. თუ F(Q1, Q2, ...,Qn)< 0, დენადობა არ არსებობს და qi = 0. ძალთა სივრცეში გარე დატვირთვის ყოველი კომბინაცია გამოსახულია წერტილით, რომელსაც გააჩნია Qi კოორდინატები. თუ წერტილი მოქცეულია დენადობის ზედაპირის შიგნით, სისტემა ხისტია; თუ წერტილი მდებარეობს ზედაპირზე, ვითარდება დენადობა. დენადობის მდგომარეობა მიიღწევა იმის შედეგად, რომ სისტემის ნაწილების საკმაო რიცხვი გადადის პლასტიკურ მდგომარეობაში. ძალების მოდების წერტილების qi სიჩქარეები გამოითვლება შემდეგნაირად: qi = λ F/ Qi. ამ თანაფარდობას ჰქვია დენადობის ასოცირებული კანონი, რომლის აზრი ის არის, რომ დენადობის კანონი მჭიდროდ არის დაკავშირებული დენადობის პირობასთან, ანუ ის ასოცირებულია ამ პირობასთან /48/. ამ შემთხვევაში დრეკადი დეფორმაციის არის ზღვარი ემთხვევა დატვირთვის ზედაპირს, რომელსაც გააჩნია რეგულარული უბნები და განსაკუთრებული (სინგულარული) წერტილები. ფიზიკური არსი არისა ძაბვების სივრცეში, რომელიც შემოსაზღვრულია დატვირთვის ზედაპირით, არის ის, რომ ამ არის საზღვრებში გრუნტი იქცევა როგორც დრეკადი. დატვირთვებისას, რომლებიც ამ არის გარეთ გამოდის, ვითარდება შეუქცევადი პლასტიკური ძვრისა და მოცულობის დეფორმაციები.

ტერმინი „იდეალური“ პლასტიკურობა იმ აზრით იხმარება, რომ მასალას არ გააჩნია განმტკიცების უნარი და როცა σ=στ, მასალას შეუძლია განუსაზღვრელად დეფორმირება. განმამტკიცებელი პლასტიკური გარემოს დენადობის თეორია ემყარება პრინციპულად იმავე თანაფარდობას, რაზეც ბლანტპლასტიკური გარემოს დენადობის თეორია. განსხვავება მდგომარეობს მხოლოდ იმაში, რომ დატვირთვის ფუნქცია დამოკიდებულია პარამეტრზე, რომელსაც განმტკიცების პარამეტრი ჰქვია. ასეთ პარამეტრად შეიძლება მიჩნეული იქნეს პლასტიკური დეფორმაცია და ამგვარად ზღვრულის წინარე მდგომარეობაში დატვირთვის განვითარებული ზედაპირი განსაზღვრავს პლასტიკური დეფორმაციის ვექტორის ნაზრდის სიდიდესა და მიმართულებას. ნარჩენი დეფორმაციების არსებობა გრუნტში წინასწარ განსაზღვრავს დატვირთვის ზედაპირის ჩაკეტილ ფორმას. გრუნტის დილატანსიის ასახვა შესაძლებელია დატვირთვის ფუნქციის ფორმულირებით. დილატანსია წარმოადეგენს გრუნტებისათვის არსებით ფაქტორს და ის შეიძლება იყოს ორი ნიშნის: ძვრის დროს გრუნტი ან გამკვრივდება (კონტრაქცია) ან თანდათან კარგავს სიმკვრივეს. ნიშანი და სიდიდე მოცულობითი დეფორმაციის დილატანსიური ნაწილისა დამოკიდებულია: გრუნტის სიმკვრივეზე, სიმტკიცის ზღვართან მიახლოებულ მდგომარეობის ხარისხზე, დატვირთვის ტრაექტორიაზე, გრუნტის თიხოვნობაზე და სხვა. გრუნტის პლასტიკური დეფორმაციების განვითარება ზღვრულის წინარე მდგომარეობაში შესაძლებელია გათვალისწინებული იქნეს დატვირთვის ზედაპირის ფორმისა და ადგილმდებარეობის დამოკიდებულებით მოცულობითი პლასტიკური დეფორმაციის დაგროვებასა და ფორმის შეცვლის დეფორმაციაზე. ჰიდროსტატიკური შეკუმშვის შედეგად წარმოქმნილი დრეკადი დეფორმაციების არე ფიქსირდება საწყისი დატვირთვის ზედაპირის შეყვანით. პლასტიკური დეფორმაციების ნაზრდის ვექტორის მიმართულების დამოკიდებულება დამატებითი დატვირთვის ვექტორის მიმართულებაზე შეიძლება გათვალისწინებული იქნეს ძალიან მარტივად, თუ დატვირთვის ზედაპირს გააჩნია განსაკუთრებული სინგულარული წერტილები. /42/

მათემატიკური მოდელი გამოიყენება უკვე 20 წელიწადზე მეტია გეოლოგიური მასალის ფართო სპექტრის რეაქციის მოდელირებისათვის. გრუნტის მოდელი პირველად აღწერილი იყო ლიტერატურაში დიმაჯიოსა და სანდლერის მიერ (1971) /43/. სანდლერი თვლიდა, რომ მოცულობითი ჰისტერეზისის წინასწარმეტყველება, რომელსაც ამჟღავნებს უმეტესი გეოლოგიური მასალებისა, შესაძლებელია აღწერილი იქნეს პლასტიკური მოდელით, თუ ეს მოდელი დაფუძნებულია განმამტკიცებელ დენადობის ზედაპირზე, რომელიც შეიცავს ჰიდროსტატიკურ ძაბვის პირობას. მოდელს აქვს სხვა მოსალოდნელი თვისებაც _ უპირველესი მნიშვნელობა აქვს იმას, რომ მას შეუძლია მოცულობითი ჰისტერეზისის გამოვლენა დეფორმაცია-განმტკიცების დენადობის ზედაპირის ან კაპის გამოყენებით. კაპის მოდელირება შესაძლებელია არაწრფივი დანგრევის ზედაპირით, წრფივი ან არაწრფივი დრეკადი მოდულით, ან როგორც ძაბვის მესამე ინვარიანტის ფუნქცია. მასალის პარამეტრების შესაბამისი შერჩევით შესაძლებელია გამოყენებული იყოს დრეკადი ან წრფივი დრეკადი-სრულად პლასტიკური მასალის მოდელი.

პირველადი მოდელების მოდიფიკაციები გაკეთებულია სხვადასხვა მკვლევარების მიერ და ფართოდ გამოიყენება კომპიუტერულ პროგრამებში.

დრაკერ-პრეგერის მოდელი დაფუძნებულია დრაკერ-პრეგერის დენადობის პირობებზე, დრაკერ-პრეგერის და კაპის დენადობის ფუნქციების გამოყენებით დენადობის ასოცირებულ წესზე, სრულიად პლასტიკურ დრაკერ-პრეგერის ქცევაზე, გაჭიმვის ჩამონაჭერზე და კაპის განმამტკიცებელზე. დრაკერის პოსტულატების დაკმაყოფილება უზრუნველყოფს ანგარიშების ერთადერთობას, უწყვეტობას და მდგრადობას და იძლევა სწორად ფორმულირებულ მათემატიკურ პრობლემას. დრაკერის პირველი პოსტულატი იძლევა ისეთ მოდელს, რომელშიც არ განხორციელდება დეფორმაცია- დარბილება. მეორე პირობა შეიცავს ორ მოსაზრებას: პირველი _ დატვირთვის ფუნქცია ან დენადობის ზედაპირი უნდა იყოს ამობურცული და მეორე _ პლასტიკური დეფორმაციის ნაზრდის ვექტორი უნდა იყოს დენადობის ზედაპირის მიმართ ორთოგონალური, რაც იმას ნიშნავს, რომ გამოყენებული უნდა იყოს ასოცირებული დენადობის წესი. დიმაჯიომ და სანდლერმა დაამუშავეს დრეკად-პლასტიკური დრაკერ-პრეგერის კუმშვის განმამტკიცებელი კაპ ზედაპირიანი მოდელი და ჩაატარეს რიცხვითი ანგარიშები (ნახ. 29) /41/

Seismomedegoba1.jpg

ნახ.29. არაერთგვაროვანი, სამზედაპირიანი, ორი ინვარიანტიანი დრაკერ-პრეგერის კაპ მოდელი ორი კუთხის უბნით

რადგანაც მოდელი აშკარად შეიძლება გამოყენებული ყოფილიყო სასრულო სხვაობებისა და/სასრულო ელემენტების გამოთვლებში, ანგარიშებში დაშვებული იქნა დეფორმაციის ექსტრემალურად მცირე ნაზრდი და არ განიხილებოდა მასალის მხები სიხისტის ოპერატორები. რადგანაც ასეთი კაპ მოდელი პირველად დამუშავებული იყო ქვიშისათვის, ის წარმატებით გამოიყენებოდა აგრეთვე სხვა მასალისთვისაც, როგორიცაა თიხა და ბეტონი. ეს მოდელი ეფუძნებოდა კლასიკურ დრეკად-პლასტიკურ თეორიას და შეწყვილებულ - დრაკერ-პრეგერის რღვევის მოხაზულობას და განმამტკიცებელ კუმშვის კაპ ზედაპირს. მას შემდეგ, რაც ისინი გამოიყენებოდა მასთან დაკავშირებულ დენადობის წესებთან ერთად, შესაძლებელი იყო დილატანსიის დაშვება (სიმტკიცის გაზრდის ეფექტი) (რაც არის პლასტიკური მოცულობის ნაზრდის ზრდა ძვრის დატვირთვის შედეგად). როცა დატვირთვა მოდებულია კუმშვის კაპ ზედაპირზე,ხდება პლასტიკური განმტკიცება (პლასტიკური მოცულობის ნაზრდის შემცირება). დიმაჯიოსა და სანდლერის დამუშავებულ კაპ მოდელებში, განმამტკიცებელი კაპი არის ელიფსური ზედაპირი უდიდესი და უმცირესი რადიუსების მუდმივი შეფარდებით და ის კვეთს ჩამონგრევის მრუდს არაერთგვაროვანი ფორმით. კუმშვის კაპ ზედაპირი განფენილია I1 ღერძის გასწვრივ პლასტიკური მოცულობით დეფორმაციის ნაზრდში ცვლილებით. დილატანსიის გამო კუმშვის კაპი მიმართულია შიგნით, როცა იკუმშება და ის გამოდის გარეთ როცა ფართოვდება პლასტიკური განმტკიცების შემთხვევაში. გადაკვეთის წერტილი ან კუთხის წერტილი, რომელშიც დრაკერ-პრეგერის მრუდი და მოძრავი კუმშვის კაპი იკვეთება, დიდხანს განიხილებოდა როგორც წერტილი, რომელსაც შეეძლო მოეცა ორივე – რიცხვითი და მყარი არასტაბილურობის გაზრდა. ერთერთი წინააღმდეგობა ამ ფაქტიდან ის არის, რომ საწყისი განმტკიცების წესი ასეთი კაპ მოდელებისა წარმოადგენილია ისეთი ფორმით, რაც იძლევა შესაბამისობას კაპ განმტკიცების k პარამეტრსა და პლასტიკურ მოცულობით დეფორმაციას, შორის.

აქედან გამომდინარე, თუ ასეთი განმამტკიცებელი კანონია ფაქტიურად გამოყენებული, მაშინ განვითარდება მოულოდნელი და არასასურველი დამარბილებელი ქცევა, როცა ძაბვის წერტილი არის კუმშვის კუთხის წერტილში. სასურველი კონტროლისა და არასასურველი დამარბილებელი ქცევის თავიდან ასაცილებლად კუმშვის კუთხის წერტილში, სანდლერმა და რუბინმა შესთავაზეს მოდიფიცირებული წყვეტილი გამამყარებელი წესი, რომელიც პრევენციას უკეთებს მასალის დამარბილებელ რეაქციას. რეზენდე და მარტინმა აჩვენეს შესაბამისად, რომ წყვეტილმა განმამტკიცებელმა წესმა შეიძლება მიიყვანოს არასრულყოფილ მოდელამდე იმ აზრით, რომ მას ექნება დეფორმაციის დიაპაზონის სივრცეში კუმშვის სინგულარულ კუთხის წერტილზე უბანი, რომელიც არ შეიძლება დაიფაროს სხვა შესაძლო ძაბვის სივრცით. ძირითადი მიზეზი ასეთი არასრულყოფისა დევს განმამტკიცებელი წესის წყვეტაში კუმშვის კუთხეში.

გამოიყენა რა ელეგანტური ინტეგრირების თეორია არაერთგვაროვანი მრავალზედაპირიანი პლასტიკურობისათვის, სიმომ და სხვ. განავითარეს ძლიერი რიცხვითი კაპ მოდელი დენადობის აქტიურობის ალგორითმის საანგარიშოდ. როგორც ნაწილი მათი ახალი გაანგარიშებისა, სიმომ და სხვ. შესთავაზეს მოდიფიცირებული უწყვეტი განმამტკიცებელი წესი, რომელიც თავიდან აიცილებს დარბილებას და გვერდს აუვლის მთლიანი შედეგების ზრდას. რეზენდესა და მარტინის მიხედვით მათ ჩამოაყალიბეს თანამიმდევრული ალგორითმული დატვირთვა/განტვირთვის პირობები. შემდგომ ჰოფშტეტერმა, სიმომ და ტეილორმა განაახლეს კაპ მოდელის განმამტკიცებელი წესი ისე, რომ შედეგად მიღებული იქნა სიმეტრიული მდგრადი მხები ოპერატორები. მიუხედავად იმისა, რომ მოხდა არსებითი გაუმჯობესება, პრობლემები დარჩა არამდოვრე სამზედაპირიანი კაპ მოდელის შემთხვევაში. უპირველესი სიძნელე მდგომარეობს იმაში, რომ მასალის მხები ოპერატორები ორივე – კუმშვის კუთხისა და გაჭიმვის კუთხის უბნებში არიან სინგულარული და ამიტომ ისინი ვერ უზრუნველყოფენ მასალის მოცულობით სიხისტეს, რაც მთლიანად არარეალისტურია და მას შეუძლია მიიყვანოს გრუნტის სისტემების კონსტრუქციულ გაანგარიშებებში სიძნელეებამდე. /41/

კაპ მოდელი ფორმულირებულია ძაბვის ტენზორის ინვარიანტის გამოსახულებებით. კვადრატული ფესვი დევიატორული ტენზორის მეორე ინვარიანტიდან შეიძლება მოიძებნოს დევიატორული ძაბვებიდან შემდეგნაირად:

Formulaseismomedegoba.jpg

ეს არის ობიექტური სკალარული საზომი დეფორმაციისა ან ძვრის ძაბვისა. პირველი ინვარიანტი I1 ძაბვისა არის ძაბვის ტენზორის კვალი.

ყველაზე დიდი უპირატესობა ამ კაპ მოდელისა სხვა დანარჩენ კლასიკურ დაწნევაზე დამოკიდებულ პლასტიკურ მოდელებთან შედარებით არის შესაძლებლობა ძვრის დატვირთვისაგან განვითარებული დილატანსიის სიდიდის კონტროლისა. დილატანსია ვითარდება ძვრის დატვირთვისას როგორც შედეგი დენადობის ზედაპირისა, რომელსაც აქვს დადებითი მიმართულების დახრა √ID– I სივრცეში. ასე რომ პლასტიკური დენადობის განსაზღვრა იმ მიმართულებით, რომელსაც ექნება დენადობის ზედაპირის მიმართ ნორმალის მიმართულება, წარმოქმნის პლასტიკური დეფორმაციის ვექტორის სიდიდეს, რომელსაც გააჩნია მდგენელი მოცულობითი (ჰიდროსტატიკური) მიმართულებით. მოდელებში, როგორიცაა დრაკერ-პრეგერის და მორ-კულონის, ეს დილატანსია გრძელდება ისე დიდხანს, სანამ ძვრის დატვირთვაა მოდებული და ბევრ შემთხვევაში იწვევს გაცილებით მეტ დილატანსიას, ვიდრე ეს აღინიშნება ექსპერიმენტებში. კაპ მოდელში, როდესაც დანგრევის ზედაპირი აქტიურია, დილატანსია ვითარდება ისევე, როგორც დრაკერ-პრეგერის და მორ-კულონის მოდელებში. მაგრამ განმტკიცების კანონი უშვებს კაპ ზედაპირის კუმშვას მანამდე, ვიდრე კაპი გადაკვეთს ჩამონგრევის მრუდს ძაბვის წერტილში დენადობის ზედაპირის ლოკალური ნორმალი ახლა ვერტიკალურია და ამიტომ შემდგომი პლასტიკური მოცულობითი დეფორმაცია (დილატანსია) არ წარმოიქმნება. მეორე უპირატესობა ამ კაპ მოდელისა არის შესაძლებლობა მოდელის პლასტიკური შემჭიდროებისა. ამ მოდელში ყველა მცირე მოცულობითი რეაქცია არის დრეკადი მანამდე, ვიდრე ძაბვის წერტილი არ მოხვდება კაპის ზედაპირზე.

სასრულო ელემენტების წესების JAM-ში გამოყენებული კაპ მოდელი. ამ შემთხვევაში დრეკადი მოცულობითი მოდული ისაზღვრება შემდეგნაირად: /43/

Formula3seismomedegoba.jpg

სადაც K არის საწყისი დრეკადი მოცულობითი მოდული;
k1 და k2 არის მასალის მუდმივები.
დრეკადი მოცულობითი მოდული იძლევა განტვირთვის მოდულს დაწნევა-მოცულობის სივრცეში.

მასალის სამი მუდმივა შეიძლება განისაზღვროს განტვირთვის მონაცემებიდან, რომლებიც მიიღება ჰიდროსტატიკური დატვირთვის ტესტის განმავლობაში. წარმოდგენილ მოდელში (ნახ.30) დატვირთვის f ფუნქციის დანგრევის მრუდის ნაწილი განსაზღვრულია მოდიფიცირებული დრაკერ-პრეგერის დანგრევის ზედაპირიდან შემდეგი ფორმით:

Formula4seismomedegoba.jpg

სადაც A, B და C არის მასალის მუდმივები. დეფორმაციის განმამტკიცებელი დენადობის ზედაპირი ან კაპი აღწერილია შემდეგნაირად:

Formula5seismomedegoba.jpg

k არის განმამტკიცებელი პარამეტრი, რომელიც ტოლია პლასტიკური მოცულობითი დეფორმაციისა;

Formula6.jpg

Formula7.jpg

ნახ.30. სასრულო ელემენტების წესების JAM-ში გამოყენებული კაპ მოდელი

მოდიფიცირებული დრაკერ-პრეგერის კაპ მოდელი. დრაკერ-პრეგერის კაპ მოდელი, რომელიც ჩადებულია ABAQUS-1998-ში /46/, წარმოადგენს მასალის ქცევას პერმანენტული დეფორმაციის განმავლობაში. ნახ.31-ზე მოცემულია დენადობის ზედაპირი, აღწერილი კაპ მოდელით p-q (ჰიდროსტატიკური დაწნევა-დევიატორული ძაბვა) სიბრტყეში.

მოდელი ხასიათდება 3 პრინციპული სეგმენტით: დაწნევაზე დამოკიდებული დრაკერ-პრეგერის ძვრის დანგრევის სეგმენტით Fs, კუმშვის კაპით Fc და გადასვლის ზედაპირით Ft. მოცულობითი დეფორმაციის გამყარება განსაზღვრულია კაპის მოძრაობით ჰიდროსტატიკური ღერძის გასწვრივ. მოდელს აქვს 2 დანიშნულება: დააკავშიროს დენადობის ზედაპირი ჰოდროსტატიკურ კუმშვაში, რომელიც ამგვარად ითვალისწინებს არადრეკადი განმტკიცების მექანიზმს, პლასტიკურ კუმშვასთან და გააკონტროლოს მოცულობითი დილატანსია, როცა მასალაში იწყება დენადობა ძვრის დარბილების კანონის გათვალისწინებით, როგორც ისეთ მასალაში, რომელიც ინგრევა დრაკერ-პრეგერის ძვრის დანგრევის ზედაპირზე.

დანგრევის ზედაპირი მერიდიანულ (p-t) სიბრტყეში აღწერილია ძვრის დანგრევის ზედაპირით:

Formula8.jpg

კაპის დანგრევის ზედაპირი:

Formula9.jpg

Seismomedegoba10.jpg

ნახ.31. დენადობის ზედაპირი, განსაზღვრული მოდიფიცირებული დრაკერ-პრეგერის კაპ მოდელით

და გადასვლის დანგრევის ზედაპირი:

Formula11.jpg

სადაც β არის ხახუნის კუთხე, d არის მასალის შეჭიდულობა, t არის დევიატორული ძაბვის საზომი, p არის ექვივალენტური დაწნევის ძაბვა, R არის ელიფსური კაპის ჰორიზონტალური ღერძის შეფარდება ელიფსური კაპის ვერტიკალურ ღერძთან, paplvol) წარმოადგენს მოცულობით არადრეკად-დეფორმაცია-წამყვან განმტკიცებას და/ან დარბილებას და α არის გადასვლის ზედაპირის რადიუსის შეფარდება (p-t) სიბრტყეში ელიფსური კაპის ვერტიკალური ღერძის რადიუსთან.

განმამტკიცებელი/დამარბილებელი კანონი განსაზღვრულია უბან-უბან წრფივი ფუნქციით ჰიდროსტატიკური კუმშვის დენადობის ძაბვის პბ-ს დამოკიდებულებით მოცულობით არადრეკად დეფორმაციაზე, როგორც ეს ნაჩვენებია ნახ. 32-ზე.

ამგვარად მოდიფიცირებული დრაკერ-პრეგერის კაპის დრეკადი მოდელის განსაზღვრა შეიცავს დრეკადობის პარამეტრებს და განმამტკიცებელ პარამეტრებს. დრეკადობის პარამეტრები d, β, R, εplvol |0 (საწყისი მოცულობითი დრეკადი დეფორმაცია), α და k საზღვრავს დენადობის ზედაპირის მოხაზულობას ძაბვების სივრცეში იმ დროს, როდესაც განმამტკიცებელი კანონი განსაზღვრულია ჰიდროსტატიკური კუმშვის დენადობის ძაბვით და მოცულობითი არადრეკადი დეფორმაციით კონსოლიდაციის პროცესის მიმდინარეობისას.

Seismomedegoba12.jpg

ნახ.32. კაპის განმტკიცება

უწყვეტი ერთზედაპირიანი კაპის პლასტიკური მოდელი. დრაკერის მიერ (1957) დამუშავებული კაპის პლასტიურობის მოდელი ტრადიციულად მოიცავს 2 დამოუკიდებელ უწყვეტ დიფერენცირებად დენადობის ფუნქციას და აყალიბებს დენადობის ზედაპირს, რომელიც ადგენს დრეკადი უბნის ზღვარს. ამ ორი ზედაპირის გადაკვეთისას ჩნდება კუთხეები. დენადობის შემთხვევაში პლასტიკური დეფორმაციის ნაზრდის მდებარეობა ისაზღვრება დენადობის ზედაპირსა და დენადობის ზედაპირზე მდებარე მისი მიმდებარე წერტილების ნორმალების მიხედვით. Gგანმტკიცების ქცევის შემთხვევაში პლასტიკური დეფორმაციის ნაზრდი მოიცავს პლასტიკური დეფორმაციების ნაზრდის ჯამს, გამოთვლილს დამოუკიდებლად თითოეული დენადობის ფუნქციიდან. სანდლერისა და რუბინის (1979) ტრადიციული კაპის პლასტიკური მოდელი ფორმულირებულია 2 ინვარიანტით _ პირველი, I1, არის ძაბვა და მეორე, I2,არის დევიატორული ძაბვა. მთავარი ძაბვებით გამოსახული ეს ინვარიანტები შემდეგნაირად არის გამოსახული /47/:

Formula15.jpg

სადაც σ1≥ σ2 ≥ σ3 და კუმშვა აღებულია უარყოფითად. თუ სიმტკიცე გაჭიმვისას ნაკლებია ვიდრე კუმშვისას, რასაც ზოგჯერ ვხვდებით კლდისათვის ან სხვა მყიფე მასალისათვის, როგორიცაა ბეტონი, მაშინ საჭიროა ზოგადად სამინვარიანტული მოდელი.

ერთზედაპირიანი მოდელი შეიძლება გამოყენებული იქნეს დრეკადი ქცევისათვის, ძვრის ნგრევისათვის და კაპის პლასტიკურობისათვის. ასეთ მოდელში დენადობის ზედაპირი მოიცავს ძვრის დენადობის ფუნქციას და კაპს, რომელიც მტკიცდება (ნახ.33)

Formula19.jpg

ნახ 33. ტრადიციული კაპის პლასტიკურობის მოდელის ძვრის ზედაპირი და გამამტკიცებელი კაპის ზედაპირები.

კაპის ფორმა აღწერილია ელიფსური ზედაპირით შემდეგნაირად:

Formula12.jpg

რომელშიც

Formula13.jpg

X = L - R [A - Cexp(BL)]

კაპის პოზიციის პარამეტრები L და X განსაზღვრავენ მოცემული კაპის ზედაპირის ადგილმდებარეობას. მასალის პარამეტრი, R, განსაზღვრავს კაპის ზედაპირის ელიფსის ძირითადი რადიუსების შეფარდებას. განმამტკიცებელი პარამეტრი, k, ისაზღვრება X(k) ფუნქციონალის და მოცულობითი პლასტიკური დეფორმაციის εv რომელიც ვითარდება მხოლოდ კაპის ზემოქმედებით, საშუალებით.

განხილულ მოდელს გააჩნია მთელი რიგი ნაკლისა, რადგანაც არსებობს გაურკვევლობა პლასტიკური დეფორმაციის მიმართულების გადაკვეთისა ძვრის დანგრევის და კაპის განმამტკიცებელ ზედაპირებთან. ფიზიკური აზრით მოთხოვნა, რომ კაპის განმამტკიცებელმა ზედაპირმა გადაკვეთოს ძვრის დანგრევის ზედაპირი კაპის ელიფსთან ჰორიზონტალური შეხების წერტილში ნიშნავს იმას, რომ პრევენცია გაუკეთდეს დანგრევის წინარე და დილატანსიის დეფორმაციას, რაც ეწინააღმდეგება ექსპერიმენტულ მონაცემებს.

ერთზედაპირიანი უწყვეტი დენადობის ფუნქცია ასეა მოცემული:

Formula14.jpg

სადაც კ არის კაპის განმამტკიცებელი პარამეტრი, αij არის უკუ-ძაბვის ტენზორი, Г არის ლოდეს კუთხის ფუნქცია.

ამ ფუნქციით განსაზღვრული დენადობის ზედაპირის მოხაზულობა მოცემულია ნახ.34-ზე. როცა დენადობის ზედაპირი მტკიცდება, მას გარეთ გამოაქვს ძვრის დანგრევის ზედაპირი, რომელიც მოცემულია ნახ.33-ზე.

Formula16.jpg

ნახ.34. უწყვეტი ერთ-ზედაპირიანი დენადობის ზედაპირები

I1-ის მოცემული მნიშვნელობისას თითოეული გამამტკიცებელი ზედაპირის პიკი, რომელიც წარმოადგენს კრიტიკულ მდგომარეობას, ბევრად დაბლაა, ვიდრე ძვრის დანგრევის მდებარეობის შესაბამისი წერტილი. სწორედ ეს არის ის საშუალება, რომელიც უშვებს დეფორმაციის გადასვლის მოდელირებას გამკვრივებიდან დილატანსიამდე, რომელიც ვითარდება მანამდე, ვიდრე მასალა დაინგრევა ძვრისაგან.

უახლესი თანამედროვე ერთგვაროვანი კაპ მოდელი. სამზედაპირიანი დრაკერ-პრეგერის დანგრევის მრუდი, გნმამტკიცებელი წრიული კუმშვის კაპი და ფიქსირებული გაჭიმვის კაპი იკვეთება მდოვრედ ისე, რომ არ არსებობს კუთხეების უბნები. ამგვარად ასეთი არაერთგვაროვნება თავიდან იცილებს სიძნელეებს, რომლებიც დაკავშირებულია კუთხეების უბნებთან, რომლებიც შეიცავენ: მასალის დამარბილებელ რეაქციას, მასალის მხები ოპერატორების არასრულფასოვნებისა და სინგულარობის ნაკლს. მოდელი გვიჩვენებს არსებითად იგივე რეალიზმის ფიზიკურ ხარისხს, როგორც წინამორბედი კაპ მოდელები, მაგრამ მისი რიცხობრივი წარმოდგენის მახასიათებლები მნიშვნელოვნად გაძლიერებულია.

წარმოდგენილი უახლესი მდოვრე კაპ მოდელისათვის დეტალურად მოცემულია ინტეგრირების ალგორითმი და გამოსახულებები მდგრადი მხები ოპერატორებისათვის. ინტეგრირების ალგორითმი ეფუძნება ეილერის უკუსვლის ძირითადი განტოლებების დიაპაზონს.

იმისათვის, რომ განხილული იყოს ის სირთულეები, რომლებიც დაკავშირებულია მდოვრე დენადობის ზედაპირთან, იგი (ნახ.35) წარმდგენილია 3 ერთგვაროვან ერთმანეთის გადამკვეთ fm(σ, k)(m = 1, 2, 3) დენადობის ზედაპირად /41/. 3 დენადობის ზედაპირის ფუნქციის ფორმა გამოხატულია Fe, Fc and Ft ფუნქციების ფორმით, რომლებსაც ჰქვია დრაკერ-პრეგერის მრუდის ფუნქცია, კუმშვის კაპის ფუნქცია და გაჭიმვის კაპის ფუნქცია.

Formula17.jpg

გრუნტების ბლანტპლასტიკური დეფორმირების კაპ მოდელი. არაბმული და ბმული (D<0,17) გრუნტების პლასტიკური დეფორმირება სტატიკური ზემოქმედებისას შეიძლება განხილული იყოს მოდებული დატვირთვის მიმართ დეფორმაციის დაგვიანების გათვალისწინების გარეშე. ამ შემთხვევაში მხედველობაში არ არის მიღებული გრუნტების რეოლოგიური თვისებები.

Formula18.jpg

ნახ.35. ერთგვაროვანი სამზედაპირიანი ორინვარიანტიანი დენადობის ზედაპირი კაპ მოდელისათვის

პლასტიკური დენადობის თეორიის გამამტკიცებელ გარემოზე დაყრდნობით გრუნტის მათემატიკური (კაპ) მოდელის განმსაზღვრელი თანაფარდობა შემდეგნაირად არის ჩამოყალიბებული: /42/

1. დეფორმაციის სრული ნაზრდი განისაზღვრება შემდეგი ჯამის სახით:

d ij = d eij + d pij

სადაც d eij არის ჰუკის კანონის შესაბამისად გამთვლილი დრეკადი დეფორმაციების კომპონენტების ნაზრდი.

d ij = cpij,ke d σ ke

აქ cpij,ke არის განტვირთვის მიხედვით განსაზღვრული დრეკადი მახასიათებლების მატრიცა.
2. პლასტიკური დეფორმაციების d pij ნაზრდი განისაზღვრება დატვირთვის ზედაპირის fr=0 ყველა რეგულარული უბნის დეფორმაციების ნაზრდის ჯამით:

d pij = Σ dλr

სადაც dλr – პლასტიკური მამრავლებია.

ამ შემთხვევაში მიღებულია კოიტერის პლასტიკური დენადობის ასოცირებული კანონი, როცა დრეკადი დეფორმირების არე ემთხვევა დატვირთვის ზედაპირს fr=0, რომელსაც გააჩნია რეგულარული უბნები და განსაკუთრებული (სინგულარული) წერტილები A-F. ნახ.36-ზე ძაბვების სივრცეში, დატვირთვის ზედაპირით შემოსაზღვრული, მოცემული არის ფიზიკური არსი მდგომარეობს იმაში, რომ ამ არის საზღვრებში გრუნტი იქცევა როგორც დრეკადი. იმ შემთხვევაში, თუ დატვირთვა გამოდის ამ არის გარეთ, ვითარდება ძვრის და მოცულობის შეუქცევადი პლასტიკური დეფორმაციები, რომლებიც ხასიათდებიან ეპი და პვ ინვარიანტებით. Kკოიტერის წესი, რომლის მიხედვითაც ისაზღვრება პლასტიკური დეფორმაციების ნაზრდი, ისაზღვრება ზემოთ მოყვანილი ფორმულით. დატვირთვის ზედაპირის მდებარეობა იცვლება დეფორმირების პროცესში პლასტიკური დეფორმაციების დაგროვების მიხედვით. დატვირთვის ფუნქციას შემდეგი სახე აქვს: fr = fri; σ; ωi; ωv; kr), სადაც kr არის რეგულარული უბნების მახასიათებელი მუდმივები; ωi; ωv არის განმტკიცების პარამეტრები. დატვირთვის ზედაპირის კვალი შედგება 4 რეგულარული უბნისაგან და გააჩნია რიგი სინგულარული წერტილისა, რომლებზეც ხდება მხების წყვეტა. პირველი უბნის გარდა, როცა fr=1=0 (უბანი BAB) და შეესაბამება გრუნტის წინაღობას მოწყვეტის მიმართ, ყველა დანარჩენი უბანი (BC, CD, DF) პლასტიკური დეფორმაციების განვითარების პროცესში იცვლიან თავის მდებარეობას - პლასტიკურად განმტკიცებული არე. დატვირთვის ზედაპირის შეცვლის კანონზომიერება ისაზღვრება განმტკიცების ფუნქციებით, რომლებიც დამოკიდებულია დაგროვილი პლასტიკური დეფორმაციებისაგან-განმტკიცების პარამეტრებისაგან.

ამგვარად გრუნტის დატვირთვისას წარმოიქმნება საწყისი ზედაპირი, რომელიც ჰიდროსტატიკური დაწნევის ტრაექტორიის მიხედვით დატვირთვისას შემოზღუდავს არეს, რომლის შიგნით ძვრის ძაბვები არ გამოიწვევნ ძვრის პლასტიკური დეფორმაციის დაგროვებას, ანუ იგი ახასიათებს გრუნტის სტრუქტურულ სიმტკიცეს რთული დაძაბული მდგომარეობის პირობებში, რომელიც ჩნდება წინასწარი ყოველმხრივი მოკუმშვის შედეგად. /42/

LS-DYNA სახელმძღვანელოში გამოყენებული კაპ მოდელი. ნახ.37-ზე მოცემულია გამოყენებული ორი მოდელი დენადობის ზედაპირისათვის მთავარ ძაბვების ღერძებში. წამყვანი ღერძი ყოველი ზედაპირისათვის არის დაწნევის ღერძი. მარცხნივ - ა) არის მორ-კულონის მოდელი (ტიპიური გრუნტის დენადობის ზედაპირი) და შედარებისთვის მარჯვნივ - ბ) არის სტანდარტული ფონ მიზესის მოდელი (ტიპიური ლითონის დენადობის ზედაპირი). /44,49/ გრუნტის დენადობა (პლასტიკურობის დაწყება) და ზღვრული (პიკური) სიმტკიცე დამოკიდებულია დაწნევაზე, რაც იმას ნიშნავს, რომ პლასტიკურობის ზედაპირი დამოკიდებულია როგორც დაწნევაზე, ასევე ძვრის ძაბვებზე. ლითონში კი - პლასტიკურობის ზედაპირი მხოლოდ ძვრის ძაბვების ფუნქციაა. ექსპერიმენტული მონაცემებით შეჭიდულობის არამქონე გრუნტისათვის დაბალი

Seismomedegoba11.jpg

ნახ.36.დატვირთვის ზედაპირის განვითარება პლასტიკური დეფორმირების პროცესში ა) და ძვრის დიაგრამა ბ).1-დატვირთვის საწყისი ზედაპირი. 11–111 – დატვირთვის ზედაპირის მდგომარეობა პლასტიკური დეფორმაციების ფიქსირებული მნიშვნელობების დროს.

დაწნევის მნიშვნელობისას დენადობის ზედაპირი დევიატორულ სიბრტყეში სამკუთხაა (ნახ.38) და მინიმალური ძაბვის (სამღერძა გაფართოებისას) შეფარდება მაქსიმალურ ძაბვასთან (სამღერძა კუმშვა) დევიატორულ სიბრტყეში ტოლია 0,70.

Seismomedegoba3.jpg Seismomedegoba4.jpg

ნახ.37. დაწნევაზე დამოკიდებული სტანდარტული მორ-კულონის დენადობის ზედაპირი მთავარი ძაბვების სივრცეში (სამღერძა გაჭიმვის სიმტკიცის შეფარდება სამღერძა კუმშვის სიმტკიცესთან e=1, წრიული კონუსის შემთხვევა) (ა) და დაწნევაზე დამოუკიდებელი (ფონ მიზესის) ლითონის დენადობის ზედაპირი (ბ).

Seismomedegoba5.jpg

ნახ.38. დენადობის ზედაპირი დევიატორულ სიბრტყეში შეჭიდულობის არამქონე გრუნტისთვის

დაბალი შეზღუდული დაწნევისას სტანდარტული გრუნტი განიცდის დილატანსიას (ფართოვდება) პიკური ძვრის ძაბვების ახლოს. მაღალი შეზღუდული დაწნევისას (>100 MPa) კი იგი წყვეტს გაფართოებას. სწორედ ცვლილება მოცულობით ქცევაში არის ერთერთი მიზეზი კაპ მოდელის გამოყენებისა. სრული ასოცირებული პლასტიკური მოდელი იძლევა საშუალებას წინასწარ განსაზღვროს მასალის დილატანსიის სურათი მას შემდეგ, რაც დენადობის სიმტკიცე მიღწეულია. სტანდარტული გრუნტი დაბალი შეზღუდული დაწნევით <30MPa აჩვენებს ტიპიურ დეფორმაციის დარბილებას. გრუნტის დეფორმაცია მტკიცდება დენადობის ძაბვიდან ზღვრულ ძაბვამდე, რის შემდეგ დეფორმაცია რბილდება. სწორედ ეს დარბილება შეიძლება იყოს უმთავრესი წყარო ენერგიის დისიპაციისა. ამიტომ ის უნდა იყო შეყვანილი მასალის მოდელში.

სტანდარტული მორ-კულონის დენადობის ზედაპირი, რომელიც წარმოადგენს ან ექვსკუთხედს ან წრეს დევიატორულ სიბრტყეში, მოცემულია ასე:

Formula20.jpg

სადაც P დაწნევაა; φ – შიდა ხახუნის კუთხეა; K(θ) არის ხახუნის კუთხე θ დევიატორულ სიბრტყეში; √I2 არის კვადრატული ფესვი ძაბვების დევიატორის მეორე ინვარიანტიდან; c – შეჭიდულობაა. მაგრამ ცდების მიხედვით ზედაპირი უნდა იყოს სამკუთხა ფორმის დაბალი შეზღუდული დაწნევის შემთხვევაში. ამიტომ მოდიფიცირებული მორ-კულონის დენადობის ზედაპირისთვის გამოყენებულია ჰიპერბოლა, როცა ის კვეთავს დაწნევის ღერძს (ძვრის სიმტკიცე ნულის ტოლია) და მოდიფიცირებული ზედაპირი მდოვრეა. გადაკვეთის წერტილში ის პერპენდიკულარულია დაწნევის ღერძისადმი და ასეთი ზედაპირი ჩაიწერება ასე:

Formula21.jpg

პარამეტრი, რომელიც აქ შეყვანილია, საზღვრავს, თუ რამდენად შეესაბამება მოდიფიცირებული მორ-კულონის ზედაპირი სტანდარტულ მორ-კულონის ზედაპირს. თუ ის ნულია, Mმაშინ აღდგება სტანდარტული მორ-კულონის ზედაპირი. ეს პარამეტრი ახლოს უნდა იყოს ნულთან. მოდიფიცირებული მორ-კულონის ზედაპირი (ძვრის ძაბვა-დაწნევის სიბრტყე) იდენტურია ორიგინალური ზედაპირისა მხოლოდ დაბალი ძაბვების შემთხვევაში.

დევიატორულ სიბრტყეში დენადობის ზედაპირის ფორმის მისაღებად სტანდარტულ მორ-კულონის K(θ) ფუნქცია შეცვლილია შემდეგი ფუნქციით:

Formula22.jpg

სადაც

Formula23.jpg

არის ძაბვების დევიატორის მესამე ინვარიანტი და ე არის მასალის შესაყვანი პარამეტრი, რომელიც ტოლია სამღერძა გაჭიმვის სიმტკიცის შეფარდებისა სამღერძა კუმშვის სიმტკიცესთან. თუ e=1, მაშინ ჩამოყალიბდება წრიული კონუსის ზედაპირი (ნახ.37) და თუ e=0,55, მაშინ ზედაპირი იქნება სამკუთხა (ნახ.39). K(θ) ისაზღვრება 0,5<e≤1,0 -სთვის

Seismomedegoba7.jpg

ნახ.39. დენადობის ზედაპირი, როცა e=0,55

დენადობის ზედაპირის განმტკიცების სიდიდე იზრდება გვერდული შეზღუდვის გაზრდით (მაგ. თუ არსებობს დაბალი შეზღუდული დაწნევა, მაშინ განმტკიცება ნაკლებია). არაწრფივი განმტკიცების ქცევის მოდელირებისათვის უნდა მოხდეს ხახუნის კუთხის გაზრდა პლასტიკური ეფექტური დეფორმაციის ფუნქციაზე დამოკიდებულებით. (ნახ.40)

Seismomedegoba8.jpg

ნახ.40. დენადობის ზედაპირის განმტკიცება

დრაკერ-პრეგერისა და მორ-კულონის კომბინირებული მეთოდი.ამ შემთხვევაში ხდება მორ-კულონის კრიტერიუმის დრაკერ-პრეგერის მოდელით მდოვრე აპროქსიმაცია, რაც საშუალებას იძლევა ის გამოყენებული იყოს ძვრის კაპ მოდელში. /50/.Uუდიდესი უპირატესობა ძვრის კაპ-მოდელისა ამ ორ მოდელთან შედარებით არის ის, რომ ის აძლევს მასალას საშუალებას დაინგრეს გამკვრივებისას ისევე კარგად, როგორც ძვრისას. მდოვრე დენადობის ზედაპირი იქმნება ორი ელიფსური დენადობის ზედაპირისგან, როგორც ეს ნაჩვენებია ნახ.41-ზე. ერთი ზედაპირი არის ძვრის დანგრევისთვის და მეორე - დანგრევის კაპისათვის, რომელიც იძლევა გამკვრივების დანგრევას.

დენადობის ფუნქცია კაპის ნგრევისათვის იქნება:

Formula24.jpg

Formula25.jpg

ნახ.41.ძვრის კაპის დენადობის ფუნქცია მერიდიანულ სიბრტყეში

სადაც pb (ჰიდროსტატიკური დაწნევის სიმტკიცე) წარმოადგენს კაპის განმტკიცების კანონს შემდეგნაირად:

Formula26.jpg

და pa განსაზღვრავს დაწნევას, რომელიც ჰყოფს ძვრის კაპის დენადობის ზედაპირს ორ ნაწილად:

Formula27.jpg

სადაც d არის შეჭიდულობის პარამეტრი დრაკერ-პრეგერის მოდელში; R განსაზღვრავს კაპის მოხაზულობას; ko არის კაპის გამამტკიცებელი პარამეტრი; ε არის ბაზური მოცულობითი პლასტიკური დეფორმაცია კაპის განმამტკიცებელ მოდელში; β არის შიდა ხახუნის კუთხე დრაკერ-პრეგერის მოდელში; q არის დევატორული ძაბვის მეორე ინვარიანტი. როცა დაწნევა მეტია, ვიდრე pa, ხდება გამკვრივება, რაც ზრდის შიდა წილობრივ საკონტაქტო ძალებს. ეს ის შემთხვევაა კაპის დანგრევისა, როცა მასალა მტკიცდება. განმტკიცების პარამეტრი დენადობის ზედაპირში არის პა, რომლის დამოკიდებულება pb-ზე მოცემულია ზემოთ. კაპის განმამტკიცებელ კანონზე დაყრდნობით, განმტკიცება ან დარბილება მასალისა დამოკიდებულია მოცულობით პლასტიკურ დეფორმაციაზე. დენადობის ზედაპირის ზომა კონტროლდება მასალის მარეგულირებელი პარამეტრის pa–ს მიხედვით. როცა ძაბვები განლაგებულია კაპის მხარეს, მოცულობითი პლასტიკური დეფორმაცია უარყოფითია და მასალა მკვრივდება და დენადობის ზედაპირი იზრდება. როცა ძაბვები განლაგებულია ძვრის დანგრევის მხარეს, მაშინ მოცულობა იზრდება, რაც იწვევს დენადობის ზედაპირის კუმშვას.